PANGKAT RASIONAL
A. Bilangan Berpangkat
Pangkat bulat positif
Pemangkatan suatu bilangan bulat dengan pangkat positif dapat diperoleh dengan perkalian berulangdari bilangan bulat yang sama.
Contoh:
62 = 6 x 6
154 = 15 x15 x 15 x 15
(-3)2 = (-3) x (-3)
a5 = a x a x a x a x a
b5 = b x b x b x b x b
Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut: an = a x a x a x a…x a
Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif
a. Sifat perkalian bilangan berpangkat
Untuk a Î R, b dan c bilangan bulat maka perkalian pada bilangan berpangkat akan berlaku ab x ac = ab+c
b. Sifat pembagian bilangan berpangkat
Untuk a Î R, b dan c bilangan bulat maka pembagian pada bilangan berpangkat akan berlaku ab : ac = ab-c
c. Sifat pangkat dari bilangan berpangkat
Untuk a Î R, b dan c bilangan bulat maka perpangkatan pada bilangan berpangkat akan berlaku (ab)c = abxc
d. Sifat pangkat dari perkalian bilangan
Untuk a Î R, b dan c bilangan bulat positif, maka pangkat dari perkalian bilangan akan berlaku (a x b)c = ac x bc
e. Sifat pangkat dari pembagian bilangan
Untuk a Î R, b dan c bilangan bulat positif, maka pangkat dari pembagian bilangan berpangkat akan berlaku
Contoh
a. 23 x 24 = 23+4 = 27
b. = 35-2 = 33
c. (52)3 = 52.3 = 56
Bilangan berpangkat nol
Seperti sifat diatas, akan berlaku ab x ac = ab+c dan ab : ac = ab-c
Contoh
34: 34 = 34-4 = 30….(1)
Dapat ditulis
34: 34 = = 1 ….(2)
Dari persamaan 1 & 2 didapat
30 = 1
Untuk setiap a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif akan berlaku:
an : an = an-n = =1 sehingga berlaku a0 = 1
Bilangan berpangkat negatif
Contoh:
45 : 47 = 45-7 = 4-2
Bilangan pecahan berpangkat
Sifat – sifat pemangkatan sebagai berikut
a. an = a x a x a x …x a e. am : an = am-n
b. a-n = f. (a x b)n = an x bn
c. (am)n = am x n = amn
d. am x an = am+n
B. Penyederhanaan Bilangan Berpangkat
Untuk menyederhanakan bentuk – bentuk dari bilangan berpangkat dapat kita gunakan sifat – sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat yang sudah kita pelajari sebelumnya.
Contoh
Sederhanakan bentuk bilangan pangkat berikut ini
- (2p-2)3 : (2p)-7
Logaritma
Grafik logaritma terhadap basis yang berbeda. merah adalah terhadap basis e, hijau adalah terhadap basis 10, dan ungu adalah terhadap basis 1.7. Perhatikan bahwa grafik logaritma terhadap basis yang berbeda selalu melewati titik (1,0)
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Rumus dasar logaritma:
bc= a ditulis sebagai blog a = c (b disebut basis)
Beberapa orang menuliskan blog a = c sebagai logba = c.
Basis
Basis yang sering dipakai atau paling banyak dipakai adalah basis 10, e≈ 2.71828... dan 2.
Notasi
- Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran Matematika menggunakan notasi blog a daripada logba. Buku-buku Matematika berbahasa Inggris menggunakan notasi logba
- Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti elog a, log a sebagai ganti 10log a dan ld a sebagai ganti 2log a.
- Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berbasis e.
- Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++,Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis e.
- Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada 10log x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada elog x.
Mencari nilai logaritma
Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:
- Tabel
- Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)
Rumus
- xlog x = 1
- x^nlog xm = m/n
- blog x + blog y = blog (x.y)
- blog x - blog y = blog (x:y)
- (alog b)(blog c) = alog c
- b log xn = n.blog x
- b log x = klog x : klog b
Kegunaan logaritma
Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.
Sains dan teknik
Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.
- Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.
- Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.
- Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.
- Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.
Penghitungan yang lebih mudah
Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::
Penghitungan dengan angka | Penghitungan dengan eksponen | Identitas Logaritma |
Sifat-sifat diatas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.
Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.
Kalkulus
Turunan fungsi logaritma adalah
dimana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e. Jika b = e, maka rumus diatas dapat disederhanakan menjadi
Integral fungsi logaritma adalah
Integral logaritma berbasis e adalah
Sebagai contoh carilah turunan
log(x)
Penghitungan nilai logaritma
Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.
Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.
Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah
dengan
Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari x2, koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.
Arti nilai a, b, dan c
Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.
- a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.
- b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah -b/2a.
- c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0.
Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan berbagai variasi nilai a. b dan c dapat dilihat pada gambar di di atas.
Rumus Kuadratis (Rumus abc)
y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)
Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk
Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa
.
Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk
dapat dituliskan menjadi
.
Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu
dan
.
Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.
Diskriminan/determinan
Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:
yang disebut sebagai diskriminan atau juga sering disebut determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dituliskan sebagai D.
Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini dikriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:
- Jika diskriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya merupakan bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan merupakan suatu kuadrat sempurna, maka akar-akarnya merupakan bilangan rasional -- sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irrasional kuadrat.
- Jika diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:
- Jika diskriminan bernilai negatif, tidak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks:
dan |
Jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak negatif.
Akar riil dan kompleks
Persamaan kuadrat dapat memiliki sebuah akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.
Titik potong dengan garis y = d
Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat digunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat () dengan suatu garis mendatar (). Hal ini dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan kuadrat tersebut dengan persamaan garis yang titik potong antar keduanya ingin dicari dan menyamakannya dengan nol.
Intepretasi yang sama pun berlaku, yaitu bila:
- diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara dan ,
- diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara dan , dan
- diskriminan negatif, tidak terdapat titik potong antara kedua kurva, dan .
Nilai-nilai y
Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan pula oleh nilai konstanta kuadrat a:
Harga-harga y | |||||||
|
| ||||||
| |||||||
| |||||||
| |||||||
|
dengan merupakan akar-akar persamaan kuadrat. Dalam tabel di atas, apabila bersifat kompleks, maka yang dimaksud adalah (nilai riil)-nya.
Geometri
Untuk fungsi kuadrat:
f(x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2), dengan variabel x adalah bilangan riil. koordinat-x dari titik-titik di mana kurva menyentuh sumbu-x, x = −1 dan x = 2, adalah akar-akar dari persamaan kuadrat : x2 − x − 2 = 0.
Akar-akar dari persamaan kuadrat
adalah juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:
dikarenakan akar-akar tersebut merupakan nilai yang memberikan
Jika a, b, dan c adalah bilangan riil, dan domain dari adalah himpunan bilangan riil, maka pembuat nol dari adalah eksak koordinat-x di saat titik-titik tersebut menyentuh sumbu-x.
Mengikuti pernyataan di atas, bahwa jika diskriminan berharga positif, kurva persamaan kuadrat akan menyentuh sumbu-x pada dua buah titik (dua buah titik potong), jika berharga nol, akan menyentuh di satu titik dan jika berharga negatif, kurva tidak akan menyentuh sumbu-x.